Bölüm 1: ‘Birinci Mertebe Değişim Oranları’
Türev kimimizin duyup da hiç anlamadığı, kimimizin de belki ömründe hiç duymadığı bir olgu. Evet, türev. Nam-ı diğer sonsuz küçük değişim oranı.
İngilizce’de bile derivation denen bu olgu aslında bişeylerden türeyen şeyler anlamında bir olgu değildir. Aksine doğru kullanımı differentiation ratio yani “farklaştırma oranları” dır.
Peki nedir bu farklaştırma oranları yani türev? Türev değişimi başka bir değişkene bağlı olan bir değişkenin, bağlı olduğu değişkenin sonsuz küçük değişiminde ne kadar değiştiğinin bağlı olduğu değişkenin değişimine oranıdır.
Örneğin değişimini takip ettiğimiz bir \(y\) değişkeni olsun. Bu değişkeni değiştiren bi tane değişken de \(x\) olsun. Acaba \(x\) herhangi bir noktada sonsuz küçük değiştiğinde \(y\) kaç katı değişir. Bunu anlamak için \(y\) için bir eşitlik yazarsak
\begin{equation} \label{eq:myequ}
y=f(x)
\end{equation}
Eğer ki \(x\) sonsuz küçük değişirse \eqref{eq:myequ} denklemi için değişimlerin bağıntısı
\begin{equation} \label{eq:limitsequation}
y+ \lim_{\Delta y \to 0}\Delta y=\lim_{\Delta x \to 0} f(x+\Delta x)
\end{equation}
şeklinde yazılabilir. Burada değişkenlerin sonsuz küçük değişimleri için \(dy\),\(dx\) gibi değişkenler icad olunursa, bir noktada sonsuz küçük değişimlerin ilişkisi
\begin{equation} \label{eq:difeq}
y+dy =f(x+dx)
\end{equation}
olarak yazılabilir. Bu demek olur ki \(y\)’ nin sonsuz küçük değişimi \(x\)’ in sonsuz küçük değişimine bir fonksiyon ile bağlıdır. Bu da sonsuz küçük farkların birbirine ilişkin kılan denklemdir. Yani nam-ı diğer sonsuz küçük farklar denklemidir.
Bİr örnek vermek gerekirse; \(y=x^2\) denklemini ele alalım. Bu denklem sonsuz küçük farklar ile yazılmak istenirse;
\begin{equation} \label{eq:diff}
y+dy =f(x+dx)=(x+dx)^2
\end{equation}
buradan
\begin{equation} \label{eq:diff2}
y+dy =x^2+2xdx+(dx)^2
\end{equation}
bulunur. Burada \(y=x^2\) kullanılarak:
\begin{equation} \label{eq:diff3}
dy =2xdx+(dx)^2
\end{equation}
elde edilir. Burada bi trik yapmak gerekiyor. Sıfıra yakın bir sayının karesi sıfıra çok daha yakın olacağı için diğer terimlere göre ihmal edilebilir mertebede olur. Yani, sıfıra eşit denirse:
\begin{equation} \label{eq:diff4}
dy =2xdx
\end{equation}
elde edilir. Buradan bildiğimiz türev tanımı, yani, sonsuz küçük farkların oranı bulunmak istenirse:
\begin{equation} \label{eq:diff5}
\frac{dy}{dx} =2x
\end{equation}
bulunur. Bu da \(x^2\)’ nin türevi, yani, sonsuz küçük fark oranıdır.
Peki şimdi birden çok değişkene bağlı bir fonksiyonun sonsuz küçük fark oranını bulmak istersek…
\(y\) değişimini takip ettiğimiz değişken olarak:
\begin{equation} \label{eq:diff6}
y=f(x_1,x_2,x_3,\ldots,x_n)\end{equation}
şeklinde birçok değişkene bağlı olsun. Bu denklemi sonsuz küçük farklar olarak yazarsak,
\begin{equation} \label{eq:diff7}
y+dy=f(x_1+dx_1,x_2+dx_2,x_3+dx_3,\ldots,x_n+dx_n)\end{equation}
ifadesi bulunur. Burada bir tanımlama yaparsak \(\frac{\partial{y}}{\partial{x_i}}\): yalnız \(x_i\) değişirken \(y\)’nin değişim miktarının \(x_i\)’nin değişimine oranı olmak üzere ve \(\frac{\partial{y}}{\partial{x_i}}dx_i\) ise yalnız \(x_i\) sonsuz küçük değişirken \(y\)’nin değişim miktarı olmak üzere;
\begin{equation} \label{eq:diff8}
y+dy=y+\frac{\partial{y}}{\partial{x_1}}dx_1+\frac{\partial{y}}{\partial{x_2}}dx_2+\frac{\partial{y}}{\partial{x_3}}dx_3+\cdots+\frac{\partial{y}}{\partial{x_n}}dx_n\end{equation}
buradan da değişim miktarı eşitliği, yani tam farklılaştırma;
\begin{equation} \label{eq:diff9}
dy=\frac{\partial{y}}{\partial{x_1}}dx_1+\frac{\partial{y}}{\partial{x_2}}dx_2+\frac{\partial{y}}{\partial{x_3}}dx_3+\cdots+\frac{\partial{y}}{\partial{x_n}}dx_n\end{equation}
olarak yazılabilir. Bu \(y\)’nin tam differansiyonu yani tam sonsuz küçük farklılaştırmasıdır.
Eşitlik \eqref{eq:diff4} ‘de verilen örnek de \(y\) sadece \(x\)’ e bağlı olduğundan \(y\)’nin tam differansiyonudur.
Çok değişkenli tam differansiyona bir örnek vermek istersek
\begin{equation} \label{eq:diff10}
y=x^2 z+xsin(z)\end{equation}
olsun. Burada \(y\)’nin tam differansiyonunu bulmak istersek,
\begin{equation} \label{eq:diff11}
y+dy=(x+dx)^2 (z+dz)+(x+dx)sin(z+dz)\end{equation}
yazılır. Buradan
\begin{gather}\label{eq:diff1x}\begin{aligned} y+dy&=(x^2+2xdx+dx^2) (z+dz)+(x+dx)sin(z+dz) \\\quad&=[zx^2+2xzdx+z(dx)^2 +x^2dz+2xdzdx+dz(dx)^2]\\&\quad+[xsin(z+dz)+dxsin(z+dz)]\end{aligned}\end{gather}
bulunur. Burada sonsuz değişimlerin birbiri ile çarpımları ve kareleri sıfır kabul edilirse,
\begin{equation}\label{eq:diff13}\begin{aligned} y+dy&=(zx^2+2xzdx )+ (xsin(z+dz)+dxsin(z+dz))\end{aligned}\end{equation}
Trigonometrik toplam formüllerinden
\begin{equation}\label{eq:diff14} sin(z+dz)=sin(z)cos(dz)+cos(z)sin(dz)\end{equation}
eşitliği bulunur. Burada sonsuz küçük \(dz\) için \(cos(dz)\) \(1\)’e ve \(sin(dz)\) de \(dz\)’e eşit olacağından(lütfen sinüsün küçük açılarda değişkene eşit olduğunu bilelim);
\begin{equation}\label{eq:diff16}sin(z+dz)=sin(z)+cos(z)dz\end{equation}
bulunur. Bu eşitlik kullanılarak \eqref{eq:diff13} ifadesi
\begin{equation}\begin{aligned}\label{eq:diff17}y+dy&=[zx^2+2xzdx +x^2dz]\\&\quad+ [x(sin(z)+cos(z)dz)+dx(sin(z)+cos(z)dz)]\end{aligned}\end{equation}
bunu düzenleyerek,
\begin{equation}\begin{aligned}\label{eq:diff18}y+dy&=[zx^2+2xzdx +x^2dz]\\&\quad+ [xsin(z)+xcos(z)dz+dxsin(z)+cos(z)dzdx]\end{aligned}\end{equation}
bulunur. Tekrardan sonsuz küçüklerin çarpımı sadeleştirilerek ve \(dx\) ve \(dy\)parantezlerine alınarak,nihayetinde,
\begin{equation}\begin{aligned}\label{eq:diff19}y+dy&=zx^2+xsin(z)+[2xz+sin(z)]dx \\&\quad+[x^2+xcos(z)]dz\end{aligned}\end{equation}
ile \eqref{eq:diff10} kullanılarak
\begin{equation}\label{eq:diff20}dy=[2xz+sin(z)]dx +[x^2+xcos(z)]dz\end{equation}
bulunur. Bu da \(y\) nin tam differansiyonudur. Kısmi değişim oranları yani kısmi türevler ise,
\begin{equation}\label{eq:diff21}\begin{aligned}\frac{\partial y}{\partial x}=2xz+sin(z) \\ \frac{\partial y}{\partial z}=x^2+xcos(z)\end{aligned}\end{equation}
olarak bulunur.
Bunun haricinde en genel olarak \(x\) ve \(z\) ‘de farklı değişkenlere bağlı olabilir. Bu durumda zincir kuralı olarak da tabir edilen olguyu inceleyecek olursak: Örneğin \(x=f(t)\) , \(z=g(u)\) şeklinde değişkenlere eşit olsun. O halde ;
\begin{equation}\begin{aligned}\label{eq:diff25}dx=\frac{\partial f}{\partial t}dt\\dz=\frac{\partial g}{\partial u}du\end{aligned}\end{equation}
olacağından \eqref{eq:diff9} eşitliği kullanılarak yerine yazılırsa;
\begin{equation}\label{eq:diff22}\begin{aligned}dy=\underbrace{\frac{\partial y}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial t}}_{\textstyle{ \frac{\partial y}{\partial t}}\mathstrut }dt+\underbrace{\frac{\partial y}{\partial z}\frac{\partial z}{\partial u}}_{\textstyle\frac{\partial y}{\partial u}\mathstrut }du\end{aligned}\end{equation}
Olarak zincir kuralı denen olgu bulunmuş olur. Örneğin; \eqref{eq:diff21} ‘de elde edilen sonuç kullanılarak;
\begin{equation}\begin{aligned}\label{eq:diff23}dy=[2f(t)g(u)+sin(f(t))]\frac{\partial f}{\partial t}dt +[f(t)^2+f(t)cos(g(u))]\frac{\partial g}{\partial u}du\end{aligned}\end{equation}
bulunur. Buradan kısmi değişim oranları ise
\begin{equation}\begin{aligned}\label{eq:diff24}\frac{\partial y}{\partial t}=[2f(t)g(u)+sin(f(t))]\frac{\partial f}{\partial t}\\ \frac{\partial y}{\partial u}=[f(t)^2+f(t)cos(g(u))]\frac{\partial g}{\partial u}\end{aligned}\end{equation}
bulunur. İkinci mertebe türevlerin incelemesi için 2. sayfa’ya geçiniz…