Bölüm 2: ‘İkinci Mertebe Değişim Oranları‘
Bir fonksiyonun değişim oranı olduğu gibi değişim oranlarının da değişimi olur. Nasıl mı? Şimdi bunu işleyelim.
2.1 İkinci Mertebe Tam Değişim Oranları
Yine sonsuz küçük aritmetiği üzerinden gidersek yine örneğin:
\begin{equation} \label{eq:myequ}
y=f(x)
\end{equation}
olsun. Burada
\begin{equation} \label{eq:exactdiff}
dy=\frac{\partial{y}}{\partial{x}}dx
\end{equation}
Olduğunu ve \(\frac{\partial{y}}{\partial{x}}\) in de bir fonksiyon olacağını ilk kısımlarda çıkarmıştık. Tek değişken olduğundan bu da bir \(g(x)\) fonksiyonuna eşit olsun. O halde
\begin{equation} \label{eq:diff}
y^\prime=\frac{\partial{y}}{\partial{x}}=g(x)
\end{equation}
olur.Şimdi tekrar limiti kullanarak
\begin{equation}\label{eq:limitsequation2}\begin{aligned} y^\prime+ \lim_{\Delta y^\prime \to 0}\Delta y^\prime=\lim_{\Delta x \to 0}g(x+\Delta x)\end{aligned}\end{equation}
Bulunur. Burada \(y^\prime\) yukarıda tanımlandığı üzere \(y\)’nin türevidir. Eşitlik \eqref{eq:limitsequation2} sonsuz küçükler cinsinden yazılırsa;
\begin{equation} \label{eq:df1}
y^\prime+dy^\prime=g(x+dx)
\end{equation}
bulunur. Bu da ikinci mertebeden sonsuz küçük farklardır.
Şimdi yine \(y=x^2\) için bulduğumuz \(y^\prime=2x\) denklemini örnek olarak alırsak, eşitlik \eqref{eq:df1} kullanılarak,
\begin{equation} \label{eq:df2}
y^\prime+dy^\prime=2(x+dx)
\end{equation}
bulunur. Bu eşitlik kullanılarak
\begin{equation} \label{eq:df3}
dy^\prime=2dx
\end{equation}
olur. Tam değişim oranları ise;
\begin{equation} \label{eq:df4}
\frac{dy^\prime}{dx}=2
\end{equation}
eşitliği bulunur. Bu eşitlik \(y \) ‘nin 2. mertebeden türevidir.
2.2 İkinci Mertebeden Kısmi Değişim Oranları
İkinci mertebeden kısmi değişim oranlarını incelemek istersek;
\begin{equation} \label{eq:df5}y=f(x,z)\end{equation}
şeklinde eşitliğimiz olsun. Bu eşitliğin tam differansiyonu yazılırsa;
\begin{equation} \label{eq:df6}dy=\frac{\partial y}{\partial x}dx+\frac{\partial y}{\partial z}dz\end{equation}
olur. Buradan şimdi her iki taraf \(dx\) ile sadeleştirilirse;
\begin{equation} \label{eq:df7}\frac{ dy}{ dx}=\frac{\partial y}{\partial x}+\frac{\partial y}{\partial z}\frac{ dz}{ dx}\end{equation}
elde edilir. Burada, \(x\) ve \(z\) birbirinden bağımsızsa \(\frac{ dz}{ dx}\) \(0\)’a eşit olur. Yani değişkenler birbirinden bağımsızsa diferansiyel oranları \(0\)’ a eşit olur. Bu durumda bağımsız değişkenler için;
\begin{equation} \label{eq:df8}\frac{dy}{ dx}=\frac{\partial y}{\partial x}\end{equation}
elde edilir. Şimdi her iki tarafın da tam differensiyonunu alalım;
\begin{equation} \label{eq:df9}d(\frac{ dy}{ dx})=d(\frac{\partial y}{\partial x})\end{equation}
\begin{equation} \label{eq:df10}d(\frac{ dy}{ dx})=\frac{\partial(\frac{\partial y}{\partial x})}{\partial x}dx+\frac{\partial{(\frac{\partial y}{\partial x})}}{\partial z}dz\end{equation}
tekrardan her iki tarafı \(dx\) e bölersek;
\begin{equation} \label{eq:df11}\frac{ d(\frac{ dy}{ dx})}{dx}=\frac{\partial(\frac{\partial y}{\partial x})}{\partial x}+\frac{\partial{(\frac{\partial y}{\partial x})}}{\partial z}\frac{dz}{dx}\end{equation}
bulunur. Tekrardan değişkenlerin bağımsızlığı kullanılarak;
\begin{equation} \label{eq:df14}\frac{ d(\frac{ dy}{ dx})}{dx}=\frac{\partial(\frac{\partial y}{\partial x})}{\partial x}\end{equation}
bulunur. Genel kullanılan yazım şekli ile yazarsak,
\begin{equation} \label{eq:df15}\frac{ d^2 y}{ d x^2}=\frac{\partial^2 y}{\partial x^2}\end{equation}
elde edilmiş olur.
Böylelikle ikinci mertebe diferansiyellerde tam diferansiyon oranlarının nasıl bulunduğunu görmüş olduk. Yorumlarınızı ve sorularınızı yorum kısmından belirtiniz.